פונקציות קומפוזיציה: מושגי יסוד, נוסחאות ודוגמאות

פונקציית הרכב הוא השילוב של פעולה של שני סוגים של פונקציות f (x) ו- g (x) כך שהיא יכולה לייצר פונקציה חדשה.

נוסחאות פונקציית הרכב

הסמל של פעולת פונקציית הקומפוזיציה הוא עם "o" ואז ניתן לקרוא אותו קומפוזיציה או מעגל. פונקציה חדשה זו יכולה להיווצר מ- f (x) ו- g (x), כלומר:

1. (f o g) (x) שפירושו ש- g נכנס ל- f
2. (g o f) (x), כלומר f מוכנס ל- g

בפונקציה קומפוזיציה ידוע גם כפונקציה אחת.

מהי פונקציה יחידה?

פונקציה בודדת היא פונקציה שניתן לסמן באות "f o g" או שניתן לקרוא אותה "f מעוגל g". הפונקציה "f o g" היא הפונקציה g אשר נעשית תחילה ואז ואחריה f.

בינתיים, עבור הפונקציה "g o f" קרא את הפונקציה g כיכר f. לפיכך, "g o f" הוא פונקציה בה f נעשה קודם במקום g.

ואז הפונקציה (f o g) (x) = f (g (x)) → פונקציה g (x) מורכבת כפונקציה f (x)

על מנת להבין פונקציה זו, שקול את התמונה למטה:

מתכנית הנוסחאות לעיל, ההגדרה שקיבלנו היא:

אם f: A → B נקבע על ידי הנוסחה y = f (x)

אם g: B → C נקבע על ידי הנוסחה y = g (x)

לאחר מכן, אנו מקבלים תוצאה של הפונקציות g ו- f:

h (x) = (gof) (x) = g (f (x))

מההגדרה לעיל אנו יכולים להסיק כי ניתן לכתוב פונקציות הכוללות את הפונקציות f ו- g:

• (g o f) (x) = g (f (x))
• (f o g) (x) = f (g (x))

מאפייני פונקציית הרכב

ישנם מספר מאפיינים לפונקציית ההרכב המתוארים להלן.

אם f: A → B, g: B → C, h: C → D, אז:

1. (f o g) (x) ≠ (g o f) (x). האופי הקומוטטיבי אינו חל
2. [f o (g o h) (x)] = [(f o g) o h (x)]. הוא אסוציאטיבי
3. אם פונקציית הזהות I (x), ואז (f o l) (x) = (l o f) (x) = f (x)

דוגמה לבעיות

בעיה 1

ניתן שתי פונקציות כל אחת f (x) ו- ז (x) בהתאמה, כלומר:

f (x) = 3x + 2

ז (x) = 2 - x

לקבוע:

א) (f o ז) (איקס)

ב) (ז o f) (איקס)

תשובה

ידוע:

f (x) = 3x + 2

ז (x) = 2 - x

(f o ז) (איקס)

"הזן אותו ז (x) עדf (איקס) "

עד שזה הופך להיות:

(f o ז) (x) = f ( ז(איקס))

= f (2 - x)

= 3 (2 - x) + 2

= 6 - 3x + 2

= - 3x + 8

(ז o f ) (איקס)

"הזן אותו f (x) עד ז (איקס) "

עד שזה הופך להיות:

(f o ז) (x) = ז (f (איקס))

= ז (3x + 2)

= 2 - (3x + 2)

= 2 - 3x - 2

= - פי 3

בעיה 2

אם אנחנו יודעים ש f (x) = 3x + 4 ו- g (x) = 3x מה הערך של (f o g) (2).

תשובה:

(f o g) (x) = f (g (x))

= 3 (3x) + 4

= 9x + 4

(f o g) (2) = 9 (2) + 4

= 22

בעיה 3

פונקציה ידועה f (x) = 3x - 1 ו- ז (x) = 2 × 2 + 3. הערך של הרכב הפונקציה ( ז o f )(1) =….?

תשובה

ידוע:

f (x) = 3x - 1 ו- ז (x) = 2 × 2 + 3

( ז o f )(1) =…?

חבר את ה- f (x) ל- g (x) ואז מלא ב- 1

(ז o f) (x) = 2 (3 x - 1) 2 + 3

(ז o f) (x) = 2 (9 x 2 - 6x + 1) + 3

(ז o f) (x) = 18x 2 - 12x + 2 + 3

(ז o f) (x) = 18 × 2 - 12x + 5

(ז o f) (1) = 18 (1) 2 − 12(1) + 5 = 11

בעיה 4

ניתנות לו שתי פונקציות:

f (x) = 2x - 3

g (x) = x2 + 2x + 3

אם (f o g) (a) הוא 33, מצא את הערך 5a

תשובה:

מצא ראשון (f o g) (x)

(f o g) (x) שווה 2 (x2 + 2x + 3) - 3

(f o g) (x) שווה ל- 2 × 2 4x + 6 - 3

(f o g) (x) שווה ל- 2 × 2 4x + 3

33 זהה ל- 2a2 4a + 3

2a2 4a - 30 שווה ל- 0

a2 + 2a - 15 שווה ל- 0

גורם:

(a + 5) (a - 3) שווה ל- 0

a = - 5 או שווה ל- 3

ל

5a = 5 (-5) = -25 או 5a = 5 (3) = 15

בעיה 5

אם (f o g) (x) = x² + 3x + 4 ו- g (x) = 4x - 5. מה הערך של f (3)?

תשובה:

(f o g) (x) שווה ל- x² + 3x + 4

f (g (x)) שווה ל- x² + 3x + 4

g (x) שווה ל- 3 אז,

4x - 5 שווה 3

4x שווה ל- 8

x שווה ל -2

f (g (x)) = x² + 3x + 4 ועבור g (x) שווה ל- 3 נקבל x שווה ל- 2

עד: f (3) = 2² + 3. 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

זהו ההסבר בנוגע לנוסחת פונקציית ההרכב ודוגמא לבעיה. עשוי להיות שימושי.