נוסחת המשולש של פסקל ובעיית דוגמא

המשולש של פסקל הוא סידור משולשים שנוצר על ידי הוספת אלמנטים סמוכים בשורה הקודמת. סידור משולשים זה נעשה על ידי הוספת אלמנטים סמוכים בשורה הקודמת.

נניח שהמשתנים a ו- b מתווספים יחד, ואז מועלים לעוצמה מ- 0 לכוח של 3, התוצאה היא התיאור הבא.

לאחר מכן שקול את סידור המספרים המודגשים מלמעלה למטה, עד שתמצא צורת משולש. להלן דפוס מספר זה מכונה משולש פסקל.

הבנת המשולש של פסקל

המשולש של פסקל הוא הכלל הגאומטרי על המקדם הבינומי במשולש.

המשולש נקרא על שם המתמטיקאי בלייז פסקל, אם כי מתמטיקאים אחרים למדו אותו מאות שנים לפניו בהודו, פרס, סין ואיטליה.

מושג כללים

הרעיון של משולש פסקל הוא מערכת חישוב למשולש זה מבלי לשים לב למשתנים a ו- b. פירוש הדבר שמספיק לשים לב למקדם הבינומי, כדלקמן:

1. בשורת האפס כתוב רק את המספר 1.
2. בכל שורה למטה, כתוב את המספר 1 בכל שמאל וימין.
3. סכום שני המספרים לעיל, ואז כתוב בשורה למטה.
4. 1 בצד שמאל וימין לפי (2), תמיד מקיף את התוצאה (3)
5. ניתן להמשיך בחישובים באותו דפוס.

שימוש אחד במשולש זה הוא לקבוע את מקדם ההספק (a + b) או (a-b) כדי להפוך אותו ליעיל יותר. שימוש זה מתואר בדוגמאות הבאות.

דוגמה לבעיות

רמז: שימו לב למשולש של פסקל.

1. מהו התרגום (a + b) 4?

ההתיישבות: עבור (a + b) 4

• ראשית, המשתנים a ו- b מסודרים, החל מ- a4b או a4
• ואז הכוח של טיפות יורד ל -3, שהוא a3b1 (הסך הכל לכוח ab חייב להיות 4)
• ואז כוחם של טיפות יורד ל -2 והופך ל- a2b2
• ואז הכוח של טיפות יורד ל -1 והופך ל- ab3
• ואז הכוח של טיפות יורד ל -0 והופך ל- b4
• לאחר מכן כתוב את המשוואה עם המקדם מול ריק

על פי איור 2 בסדר הרביעי מתקבלים המספרים 1,4,6,4,1, כך שהתרגום (a + b) 4 מתקבל

2. מהו המקדם a3b3 ב- (a + b) 6?

ההתיישבות:

בהתבסס על שאלה מספר 1, סדר המשתנים מ (a + b) 6 מסודר, כלומר

a6, a5b1, a4b2, א3ב3 .

המשמעות היא שבסדר הרביעי (תמונה 2, רצף 6) בתבנית 1, 6, 15, 20 הוא 20 . לפיכך, ניתן לכתוב 20 a3b3.

3. קבעו את התרגום של (3a + 2b) 3

ההתיישבות

הנוסחה הכללית למשולש הפסקל כסכום המשתנים a ו- b לכוח של 3 מוצגת כדלקמן

על ידי שינוי המשתנים ל- 3a ו- 2b, נקבל