משוואת ערך מוחלטת (הסבר מלא ובעיה לדוגמא)

ערך מוחלט בחשבון מאוד שימושי לפתרון בעיות מתמטיות שונות, הן במשוואות והן באי-שוויון. להלן הסבר מלא על ערכים מוחלטים ושאלות לדוגמא.

הגדרת ערך מוחלט

לכל המספרים יש את הערכים המוחלטים שלהם. כל המספרים המוחלטים הם חיוביים, כך שערכי המספרים המוחלטים של מספרים עם אותו מספר אך עם סימנים חיוביים שונים (+) ושליליים (-) יקבלו את אותה תוצאה של מספר מוחלט.

אם x הוא חבר במספר ממשי, הערך המוחלט נכתב כ- x | ומוגדר כדלקמן:

"ערך מוחלט הוא מספר בעל אותו ערך של אורך או מרחק מהמקור או מנקודת האפס בקואורדינטות."

ניתן לפרש שהערך המוחלט של 5 הוא האורך או המרחק מנקודה 0 לנקודה 5 או (-5).

הערכים המוחלטים של (-9) ו- 9 הם 9. הערך המוחלט של 0 הוא 0, וכן הלאה. נילאא

אני אבין זאת לחלוטין על ידי התבוננות בתמונה הבאה:

בתמונה למעלה ניתן להבין כי הערך של | 5 | הוא המרחק של הנקודה 5 מהמספר 0, כלומר 5 ו- | -5 | מרחק הנקודה (-5) מהמספר 0 הוא 5.

אם | x | מבטא את המרחק מנקודה x ל 0, ואז | x-a | הוא המרחק מנקודה x לנקודה a. לדוגמא, כאשר מבטאים את המרחק מנקודה 5 לנקודה 2 אפשר היה לכתוב את זה | 5-2 | = 3

באופן כללי ניתן לקבוע כי ניתן לכתוב את המרחק x ל- a עם הסימון | x-a | או | a-x |

לדוגמא, המרחק של מספר לנקודה 3 שווה 7 כדלקמן:

אם מתואר במשוואה האלגברית | x-3 | = 7 ניתן לפתור אותה באופן הבא:

זכור כי | x-3 | הוא המרחק של המספר x לנקודה 3, כאשר | x-3 | = 7 הוא המרחק של המספר x לנקודה 3 לאורך 7 יחידות.

מאפיינים בעלי ערך מוחלט

בפעולות משוואת מספר מוחלט, ישנם מאפייני מספר מוחלט שיכולים לעזור לפתור משוואות מספר מוחלט.

להלן מאפייני המספרים המוחלטים בכלל במשוואות הערך המוחלטות:

מאפייני הערך המוחלט של אי השוויון:

דוגמאות לבעיות משוואת ערך מוחלטות

דוגמא לבעיה 1

מה הערך המוחלט של המשוואה | 10-3 |?

תשובה:

|10-3|=|7|=7

דוגמא לבעיה 2

מה התוצאה של x למשוואת הערך המוחלט | x-6 | = 10?

תשובה:

כדי לפתור משוואה זו, ישנן שתי תוצאות אפשריות למספרים מוחלטים

| x-6 | = 10

פיתרון ראשון:

x-6 = 10

x = 16

פיתרון שני:

x - 6 = -10

x = -4

אז התשובה למשוואה זו היא 16 או (-4)

דוגמא לבעיה 3

פתור וחשב את ערך x במשוואה הבאה

–3 | x - 7 | + 2 = –13

תשובה:

–3 | x - 7 | + 2 = –13

–3 | x - 7 | = –13 - 2

–3 | x - 7 | = –15

| x - 7 | = –15 / –3

| x - 7 | = 5

בוצע עד לפתרון שלמעלה, ואז לערך x יש שני ערכים

x - 7 = 5

x = 12

אוֹ

x - 7 = - 5

x = 2

אז ערך ה- x הסופי הוא 12 או 2

דוגמא לבעיה 4

פתור את המשוואה הבאה ומהו ערך x

| 7 - 2x | - 11 = 14

תשובה:

| 7 - 2x | - 11 = 14

| 7 - 2x | = 14 + 11

| 7 - 2x | = 25

לאחר השלמת המשוואה הנ"ל, המספרים לערך המוחלט של x הם כדלקמן

7 - 2x = 25

2x = - 18

x = - 9

אוֹ

7 - 2x = - 25

2x = 32

x = 16

אז הערך x הסופי הוא (- 9) או 16

דוגמא לבעיה 5

מצא את הפתרון למשוואת הערך המוחלט הבאה:

| 4x - 2 | = | x + 7 |

תשובה:

כדי לפתור את המשוואה הנ"ל, השתמש בשני פתרונות אפשריים, כלומר:

4x - 2 = x + 7

x = 3

אוֹ

4x - 2 = - (x + 7)

x = - 1

אז הפיתרון למשוואה | 4x - 2 | = | x + 7 | הוא x = 3 או x = - 1

דוגמא לבעיה 6

קבע את הפתרון למשוואת הערך המוחלט הבאה:

| 3x + 2 | ² + | 3x + 2 | - 2 = 0

מה הערך של x?

תשובה:

פשט: | 3x + 2 | = עמ '

לאחר מכן

| 3x + 2 | ² + | 3x + 2 | -2 = 0

p² + p - 2 = 0

(p + 2) (p - 1) = 0

p + 2 = 0

p = - 2 (הערך המוחלט אינו שלילי)

אוֹ

p - 1 = 0

p = 1

| 3x + 2 | = 1

עד לפתרון שלמעלה, ישנן 2 תשובות אפשריות ל- x, כלומר:

3x + 2 = 1

3x = 1 - 2

3x = - 1

x = - 1/3

אוֹ

- (3x + 2) = 1

3x + 2 = - 1

3x = - 1 - 2

3x = - 3

x = - 1

אז הפתרון למשוואה הוא x = - 1/3 או x = - 1

התייחסות: ערך מוחלט - מתמטיקה היא כיף