אינדוקציה מתמטית: מושגים חומריים, שאלות לדוגמא ודיון

אינדוקציה מתמטית היא שיטה דדוקטיבית המשמשת להוכחת אמירות אמיתיות או שקריות.

בטח למדת אינדוקציה למתמטיקה בתיכון. כידוע, אינדוקציה מתמטית היא הרחבה של ההיגיון המתמטי.

ביישום שלה, ההיגיון המתמטי משמש לחקר אמירות שיש בהן ערכים, שווי ערך או שלילה כוזבים או אמיתיים ולהסיק מסקנות.

מושגי יסוד

אינדוקציה מתמטית היא שיטה דדוקטיבית המשמשת להוכחת אמירות אמיתיות או שקריות.

בתהליך מסיקים מסקנות על סמך תוקף ההצהרות המקובלות כך שהצהרות ספציפיות יכולות להיות אמיתיות. בנוסף, משתנה באינדוקציה מתמטית נחשב גם כחבר במכלול המספרים הטבעיים.

ביסודו של דבר, ישנם שלושה שלבים בהשראה מתמטית על מנת להוכיח האם נוסחה או אמירה יכולים להיות נכונים או להיפך.

השלבים הבאים הם:

• הוכיח כי הצהרה או נוסחה נכונים עבור n = 1.
• נניח שהצהרה או נוסחה נכונה עבור n = k.
• הוכיח כי משפט או נוסחה נכונים עבור n = k + 1.

מהשלבים שלעיל, אנו יכולים להניח כי הצהרה חייבת להיות ניתנת לאימות עבור n = k ו- n = k + 1.

סוגי אינדוקציה מתמטית

ישנם סוגים שונים של בעיות מתמטיות שניתן לפתור באמצעות אינדוקציה מתמטית. לכן ניתן לחלק אינדוקציה מתמטית לשלושה סוגים, כלומר סדרות, חלוקה ואי שוויון.

1. סדרה

בסדרות מסוג זה, בדרך כלל בעיית האינדוקציה המתמטית נמצאת בצורה של תוספת עוקבת.

לכן, בבעיית הסדרה, יש להוכיח את האמת במונח הראשון, מונח ה- k והמונח ה- th (k + 1).

2. חטיבה

סוגים של אינדוקציה למתמטיקה חלוקה ניתן למצוא בבעיות שונות המשתמשות במשפטים הבאים:

• ניתן לחלק ב
• גורם b של a
• ב מחלק א
• כפול ב

ארבע תכונות אלו מצביעות על כך שניתן לפתור את ההצהרה באמצעות אינדוקציה מתמטית מסוג חלוקה.

הדבר שיש לזכור הוא, אם מספר a ניתן לחלוקה ב- b אז a = מייל כאשר m הוא מספר שלם.

3. אי-שוויון

סוג האי-שוויון מסומן בסימן שהוא יותר או פחות מזה בהצהרה.

ישנם תכונות המשמשות לעיתים קרובות לפתרון סוגי אינדוקציות מתמדיים של אי-שוויון. מאפיינים אלה הם:

• a> b> c ⇒ a> c אוֹ a <b <c ⇒ a <c
• א 0 ⇒ ac <bc אוֹ a> b ו- c> 0 ⇒ ac> bc
• a <b ⇒ a + c <b + c אוֹ a> b ⇒ a + c> b + c

דוגמאות לבעיות אינדוקציה מתמטיות

להלן דוגמא לבעיה כך שתוכלו להבין טוב יותר כיצד לפתור הוכחת נוסחה באמצעות אינדוקציה מתמטית.

שׁוּרָה

דוגמה 1

הוכיח 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1), עבור כל n מספרים טבעיים.

תשובה:

P (n): 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1)

יוכח כי n = (n) נכון לכל n ∈ N

הצעד הראשון :

יוצג כי n = (1) נכון

2 = 1(1 + 1)

אז, P (1) נכון

צעד שני :

נניח ש- n = (k) נכון כלומר.

2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k + 1), k ∈ N

צעד שלישי

יוצג כי n = (k + 1) נכון גם הוא, כלומר

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

מההנחות:

2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k + 1)

הוסף את שני הצדדים עם u_{k + 1} :

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

אז, n = (k + 1) נכון

דוגמה 2

השתמש באינדוקציה מתמטית כדי להוכיח משוואות

Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 לכל המספרים השלמים נ ≥ 1.

תשובה:

הצעד הראשון :
יוצג כי n = (1) נכון
S1 = 1 = 12
צעד שני
נניח ש- n = (k) נכון, כלומר
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
צעד שלישי
הוכיח ש- n = (k + 1) נכון
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
זכרו ש 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
לאחר מכן
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
ואז מוכחת המשוואה הנ"ל

דוגמה 3

הוכח זאת 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 נכון, לכל מספרים טבעיים

תשובה:

הצעד הראשון :

יוצג כי n = (1) נכון

1 = 12

אז, P (1) נכון

צעד שני:

נניח ש- n = (k) נכון, כלומר

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2, k ∈ N.

צעד שלישי :

יוצג כי n = (k + 1) נכון גם הוא, כלומר

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

מההנחות:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
הוסף את שני הצדדים עם uk + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
אז, n = (k + 1) נכון גם

חֲלוּקָה

דוגמה 4

הוכיח ש- n3 + 2n מתחלק ב -3, עבור כל n מספרים טבעיים

תשובה:

הצעד הראשון:

יוצג כי n = (1) נכון

13 + 2.1 = 3 = 3.1

אז, n = (1) נכון

צעד שני:

נניח ש- n = (k) נכון, כלומר

k3 + 2k = 3m, k ∈ NN

צעד שלישי:

יוצג כי n = (k + 1) נכון גם הוא, כלומר

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)

מכיוון ש- m הוא מספר שלם ו- k הוא מספר טבעי, (m + k2 + k + 1) הוא מספר שלם.

נניח ש- p = (m + k2 + k + 1), ואז

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, כאשר p ∈ ZZ

אז, n = (k + 1) נכון

אי שיוויון

דוגמה 5

הוכיח כי לכל מספר טבעי n ≥ 2 תקף

3n> 1 + 2n

תשובה:

הצעד הראשון:

יוצג כי n = (2) נכון

32 = 9 > 1 + 2.2 = 5

אז, P (1) נכון

צעד שני:

נניח ש- n = (k) נכון, כלומר

3k> 1 + 2k, k ≥ 2

צעד שלישי:

יוצג כי n = (k + 1) נכון גם הוא, כלומר

3k + 1> 1 + 2 (k + 1)

3k + 1 = 3 (3k)
3k + 1> 3 (1 + 2k) (כי 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (כי 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)

אז, n = (k + 1) נכון גם

דוגמה 6

להוכיח כי לכל מספר טבעי n ≥ 4 תקף

(n + 1)! > 3n

תשובה:

הצעד הראשון:

יוצג כי n = (4) נכון

(4 + 1)! > 34

צד שמאל: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

צד ימין: 34 = 81

אז, n = (4) נכון

צעד שני:

נניח ש- n = (k) נכון, כלומר

(k + 1)! > 3k, k ≥ 4

צעד שלישי:

יוצג כי n = (k + 1) נכון גם הוא, כלומר

(k + 1 + 1)! > 3k + 1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (כי (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (כי k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1

אז, n = (k + 1) נכון גם