נוסחאות אינטגרליות חלקיות, החלפה, בלתי מוגבלות וטריגונומטריות

נלמד את הנוסחאות האינטגרליות בצורה של אינטגרלים חלקיים, החלפה, בלתי מוגבלת וטריגונומטריה בדיון שלהלן. הקשב טוב!

אינטגרל הוא צורה של פעולה מתמטית שהיא ההפוכה או ההפוכה של הנגזרת ומגבילה את הפעולות של מספר או אזור מסוים. ואז גם מחולק לשניים, כלומר אינטגרל בלתי מוגדר ואינטגרל מוגדר.

אינטגרל בלתי מוגדר מתייחס להגדרת אינטגרל כהפוך (הפוך) של הנגזרת, ואילו אינטגרל מוגדר כסכום השטח שתוחם בעקומה או במשוואה מסוימים.

אינטגרל משמש בתחומים שונים. לדוגמה במתמטיקה והנדסה, אינטגרלים משמשים לחישוב נפח האובייקט המסתובב והשטח על עקומה.

בתחום הפיזיקה, השימוש באינטגרלים משמש לחישוב וניתוח מעגלים של זרמים חשמליים, שדות מגנטיים ואחרים.

נוסחה אינטגרלית כללית

נניח שיש פונקציה פשוטה. האינטגרל של הפונקציה הוא

מֵידָע:

• k: מקדם
• x: משתנה
• n: הכוח / דרגת המשתנה
• C: קבוע

נניח שיש פונקציה f (x). אם נקבע את השטח שתוחם על ידי הגרף f (x) אז ניתן לקבוע אותו

כאשר a ו- b הם הקווים האנכיים או גבולות השטח המחושבים מציר ה- x. נניח שהאינטגרה של f (x) מסומנת על ידי F (x) או אם היא נכתבת

לאחר מכן

מֵידָע:

• a, b: גבולות עליונים ותחתונים של האינטגרל
• f (x): משוואת עקומה
• F (x): השטח שמתחת לעקומת f (x)

מאפיינים אינטגרליים

חלק מהתכונות האינטגרליות הן כדלקמן:

אינטגרל בלתי מוגדר

אינטגרל בלתי מוגדר הוא ההפך מנגזרת. אתה יכול לקרוא לזה אנטי-נגזרת או אנטי-נגזרת.

האינטגרל הבלתי מוגדר של פונקציה גורם לפונקציה חדשה שאין לה ערך קבוע מכיוון שיש עדיין משתנים בפונקציה החדשה. הצורה הכללית של האינטגרל היא כמובן.

נוסחה אינטגרלית בלתי מוגבלת:

מֵידָע:

• f (x): משוואת עקומה
• F (x): השטח שמתחת לעקומת f (x)
• C: קבוע

דוגמאות לאינטגרלים בלתי מוגדרים:

אינטגרל להחלפה

ניתן לפתור כמה בעיות או אינטגרלים של פונקציה על ידי נוסחת אינטגרל ההחלפה אם יש כפל של הפונקציה כשאחת הפונקציות היא נגזרת של פונקציה אחרת.

שקול את הדוגמאות הבאות:

אנו מניחים ש- U = ½ x2 + 3 ואז dU / dx = x

כך ש- x dx = dU

המשוואה האינטגרלית להחלפה הופכת להיות

= -2 cos U + C = -2 cos (½ x2 + 3) + C.

דוגמא

נניח 3x2 + 9x -1 כמו u

אז du = 6x + 9

2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du

ואז אנו מחליפים את u שוב ב- 3x2 + 9x -1 כך שנקבל את התשובה:

אינטגרל חלקי

נוסחאות אינטגרליות חלקיות משמשות בדרך כלל כדי לפתור את האינטגרל של הכפל של שתי פונקציות. באופן כללי, אינטגרלים חלקיים מוגדרים כ-

מֵידָע:

• U, V: פונקציה
• dU, dV: נגזרת של פונקציה U ונגזרת של פונקציה V.

דוגמא

מה התוצאה של sin (3x + 2) sin (3x + 2) dx?

הֶסדֵר:

דוגמא

u = 3x + 2

dv = sin (3x + 2) dx

לאחר מכן

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = - ⅓ cos (3x + 2)

אז זה

Dv u dv = uv - duv du

Dv u dv = (3x + 2). (- ⅓ cos (3x + 2)) - ∫ (- ⅓ cos (3x + 2)). 3 dx

Dv u dv = - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + ⅓. ⅓ sin (3x + 2) + C.

Dv u dv = - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + 1 /₉ חטא (3x + 2) + C

לפיכך, המוצר של ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx הוא - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + 1 /₉ חטא (3x + 2) + C.

אינטגרל טריגונומטרי

ניתן להפעיל נוסחאות אינטגרליות על פונקציות טריגונומטריות. פעולתם של אינטגרלים טריגונומטריים מתבצעת באותו מושג של אינטגרלים אלגבריים, המהווים את ההפך מגזירה. עד שניתן להסיק כי:

קביעת משוואת העקומה

שיפועים ומשוואות המשיקים לעיקול בנקודה. אם y = f (x), שיפוע המשיק לעקומה בכל נקודה בעקומה הוא y '= f' (x). לכן, אם ידוע על שיפוע המשיק, ניתן לקבוע את משוואת העקומה באופן הבא.

y = ʃ f '(x) dx = f (x) + c

אם אתה מכיר את אחת הנקודות דרך העקומה, אתה יכול למצוא את הערך של c כך שניתן לקבוע את משוואת העקומה.

דוגמא

שיפוע המשיק לעקומה בנקודה (x, y) הוא 2x - 7. אם העקומה עוברת דרך הנקודה (4, -2), מצא את משוואת העקומה.

תשובה:

f '(x) = = 2x - 7

y = f (x) = ʃ (2x - 7) dx = x2 - 7x + c.

מכיוון שהעקומה בנקודה (4, -2)

ואז: f (4) = –2 ↔ 42 - 7 (4) + c = -2

–12 + c = –2

c = 10

אז משוואת העקומה היא y = x2 - 7x + 10.

לכן הדיון בנוגע למספר נוסחאות אינטגרליות, אני מקווה שזה שימושי.