משוואות מעגל - נוסחאות, צורות כלליות ובעיות דוגמא

משוואה מעגלית

למשוואה עבור מעגל יש את הצורה הכללית x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, שניתן להשתמש בה כדי לקבוע את הרדיוס והמרכז של המעגל.

למשוואת המעגל שתלמד להלן יש כמה צורות. במקרים שונים, המשוואה יכולה להיות שונה. לכן, הבינו זאת היטב כדי שתוכלו לשנן בעל פה.

מעגל הוא קבוצה של נקודות שוות מנקודה. הקואורדינטות של נקודות אלה נקבעות באמצעות סידור המשוואות. זה נקבע על סמך אורך הרדיוס וקואורדינטות מרכז המעגל.

משוואות מעגל

ישנם סוגים שונים של קווי דמיון, כלומר משוואה אשר נוצר מנקודת המרכז והרדיוס ומשוואה אשר ניתן למצוא את נקודת המרכז והרדיוס.

המשוואה הכללית למעגל

יש משוואה כללית, להלן:

משוואה מעגלית

אם לשפוט לפי המשוואה הנ"ל, ניתן לקבוע את נקודת המרכז והרדיוס:

משוואה מעגלית

מרכז המעגל הוא:

במרכז P (a, b) ורדיוס r

ממעגל, אם אתה יודע את נקודת המרכז והרדיוס, תקבל את הנוסחה:

משוואה מעגלית

אם אתה יודע את נקודת המרכז של המעגל ואת רדיוס המעגל שבו (a, b) הוא המרכז ו- r הוא רדיוס המעגל.

מהמשוואה שהתקבלה לעיל, אנו יכולים לקבוע אם כולל הנקודה מונח על המעגל, או בפנים או בחוץ. לקביעת מיקום הנקודה, באמצעות החלפת הנקודה במשתנים x ו- y ואז השוואת התוצאות לריבוע רדיוס המעגל.

משוואה מעגלית

נקודה M (x1, y1) ממוקם:

משוואה מעגלית

על המעגל:

בתוך המעגל:

מחוץ למעגל:

במרכז עם O (0,0) ורדיוס r

אם נקודת המרכז היא ב- O (0,0), בצע את ההחלפה בחלק הקודם, כלומר:

משוואה מעגלית

מהמשוואה הנ"ל ניתן לקבוע את מיקום הנקודה במעגל.

משוואה מעגלית

נקודה M (x1, y1) ממוקם:

על המעגל:

בתוך המעגל:

מחוץ למעגל: קרא גם: אמנות היא: הגדרה, פונקציה, סוגים ודוגמאות [FULL]

הצורה הכללית של המשוואה יכולה לבוא לידי ביטוי בצורות הבאות.

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2, או

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, או

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, כאשר P = -2a, Q = -2b ו- S = a2 + b2 - r2

צומת הקווים והמעגלים

ניתן לקבוע מעגל עם המשוואה x2 + y2 + Ax + + + C = 0 אם קו h עם המשוואה y = mx + n אינו נוגע בו, פוגע בו או מצטלב באמצעות העיקרון המפלה.

……. (משוואה 1)

…… .. (משוואה 2)

על ידי החלפת משוואה 2 למשוואה 1, תקבל משוואה ריבועית, כלומר:

משוואה מעגלית

מהמשוואה הריבועית שלעיל, על ידי השוואת הערכים המפלים, ניתן לראות האם הקו אינו פוגע / מצטלב, פוגע או חוצה את המעגל.

הקו h אינו מצטלב / פוגע במעגל, אז D <0

קו h משיק למעגל, כך ש- D = 0

קו h חוצה את המעגל, אז D> 0

משוואה מעגלית

משוואות של משיקים למעגלים

1. משוואת משיקים דרך נקודה על המעגל

משיקים למעגל פוגשים בדיוק נקודה הממוקמת על המעגל. מנקודת החיתוך של המשיק והמעגל ניתן לקבוע את משוואת קו המשיק.

משוואת המשיק למעגל העוברת בנקודה P (x1, y1), ניתן לקבוע, כלומר:

  • טופס

משוואת המשיק

    • טופס

    משוואת המשיק

    משוואה מעגלית
    • טופס

    משוואת המשיק

    דוגמה לבעיות:

    משוואת המשיק דרך הנקודה (-1,1) במעגל

    הם:

    תשובה:

    דע את המשוואה למעגל

    כאשר A = -4, B = 6 ו- C = -12 ו- x1 = -1, y1 = 1

    PGS הוא

    משוואה מעגלית

    אז משוואת המשיק היא

    2. המשוואה משיקה לשיפוע

    אם קו עם שיפוע m משיק למעגל,

    משוואה מעגלית

    ואז משוואת המשיק היא:

    אם זה מעגל,

    משוואה מעגלית

    ואז משוואת המשיק:

    משוואה מעגלית

    אם זה מעגל,

    ואז משוואת המשיק על ידי החלפת r עם,

    משוואה מעגלית

    אז זה:

    משוואה מעגלית

    אוֹ

    3. משוואות משיקים לנקודות מחוץ למעגל

    מנקודה מחוץ למעגל, ניתן לצייר שני משיקים למעגל.

    קרא גם: דמוקרטיה: הגדרה, היסטוריה וסוגים [FULL]

    כדי למצוא את משוואת המשיק, משתמשים בנוסחת משוואת השורה הרגילה, כלומר:

    משוואה מעגלית

    עם זאת, מנוסחה זו, לא ידוע על ערך שיפוע הקו. כדי למצוא את שיפוע הקו, החלף את המשוואה במשוואת המעגל. מכיוון שהקו הוא משיק, אז מהמשוואה תתקבל התוצאה של החלפת הערך D = 0, והערך של m

    דוגמה לבעיות

    דוגמא לבעיה 1

    למעגל נקודת מרכז (2, 3) וקוטרו 8 ס"מ. משוואת המעגל היא ...

    דִיוּן:

    מכיוון ש- d = 8 פירושו r = 8/2 = 4, אז המשוואה למעגל שנוצר היא

    (x - 2) ² + (y - 3) ² = 42

    x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

    x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

    דוגמא לבעיה 2

    קבע את המשוואה הכללית עבור המעגל שבמרכזו נקודה (5,1) וקו 3 הפוגעאיקס– 4y+ 4 = 0!

    דִיוּן:

    אם אתה מכיר את מרכז המעגל (א,ב) = (5,1) והמשיק למעגל 3איקס– 4y+ 4 = 0, ואז רדיוס המעגל מנוסח באופן הבא.

    לפיכך, המשוואה הכללית עבור המעגל היא כדלקמן.

    לפיכך, המשוואה הכללית עבור מעגל שבמרכזו נקודה (5,1) וקו 3 פוגעאיקס– 4y+ 4 = 0 הוא

    דוגמא לבעיה 3

    מצא את המשוואה הכללית עבור מעגל שבמרכזו (-3,4) ופוגע בציר Y!

    דִיוּן:

    ראשית, בואו נשרטט תחילה את גרף המעגל, שבמרכזו (-3,4) ופוגע בציר Y!

    בהתבסס על התמונה לעיל, ניתן לראות שמרכז המעגל נמצא בקואורדינטות (-3,4) ברדיוס 3, כך:

    לפיכך, המשוואה הכללית שבמרכזה (-3,4) ופוגעת בציר Y היא

    במקרים מסוימים, רדיוס המעגל אינו ידוע, אך משיק ידוע. אז איך לקבוע את רדיוס המעגל? התבונן בתמונה הבאה.

    משוואה מעגלית

    התמונה שלמעלה מראה שהקו משיק למשוואה px+ qy+ ר= 0 פוגע במעגל שבמרכזו C (א, ב). ניתן לקבוע את הרדיוס על ידי המשוואה הבאה.א, ב). ניתן לקבוע את הרדיוס על ידי המשוואה הבאה.

    עשוי להיות שימושי.

    הודעות האחרונות