משוואות ריבועיות (FULL): הגדרה, נוסחאות, בעיות דוגמה

משוואה ריבועית היא אחת המשוואות המתמטיות של המשתנה בעל הכוח הגבוה ביותר של שניים.

הצורה הכללית של משוואה ריבועית או PK היא כדלקמן:

גַרזֶן2 + bx + c = 0

עם איקס הוא משתנה, א, ב הוא המקדם, ו ג הוא קבוע. הערך של a אינו שווה לאפס.

צורות גרף

אם משוואה ריבועית מתוארת במונחים של קואורדינטות קרטזיות (x, y), היא תיצור גרף פרבולי. לכן גם משוואות ריבועיות מכונות לעתים קרובות משוואה פרבולית.

להלן דוגמה לצורה של משוואה זו בצורת גרף פרבולי.

במשוואת הערך הכללית א, ב, ו ג משפיע מאוד על הדפוס הפרבולי שנוצר.

ציון א לקבוע את העקומה הקעורה או הקמורה של הפרבולה. אם הערך הוא מ- a> 0, ואז הפרבולה תרצה פתוח כלפי מעלה (קעור). אחרת, אם a <0ואז הפרבולה תרצה פתוח כלפי מטה (קמור).

ציון ב על המשוואה קובע המיקום העליון של הפרבולה. במילים אחרות, קביעת ערך ציר הסימטריה של העקומה שווה ל- איקס =-ב/2 א.

ערך קבוע ג בגרף המשוואה קובעת הצומת של פונקציית הפרבולה עם ציר ה- y. להלן גרף פרבולי עם שינויים בערכים קבועים ג.

שורשי המשוואה הרביעית (PK)

הפיתרון למשוואה הריבועית נקרא akar- שורש המשוואה הריבועית.

שורשי PK שונים

ניתן למצוא את סוגי השורשים PK בקלות בעזרת הנוסחה הכללית D = b2 - 4ac מהמשוואה הכללית עבור ax2 + bx + c = 0 בריבוע.

להלן סוגי השורשים של משוואות ריבועיות.

1. שורש אמיתי (D> 0)

אם הערך של D> 0 מ- PK, זה יפיק שורשי משוואה אמיתית אך יש להם שורשים שונים. במילים אחרות, x1 אינו זהה ל- x2.

דוגמה למשוואת השורש האמיתית (D> 0)

מצא את סוג השורש של המשוואה x2 + 4x + 2 = 0.

הֶסדֵר:

a = 1; b = 4; ו- c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (1) (2)

D = 16 - 8

D = 8

אז מכיוון שהערך D> 0, השורש הוא מסוג השורש האמיתי.

2. שורש אמיתי שווה ל- x1 = x2 (D = 0)

זהו סוג של שורש של משוואה ריבועית המייצרת שורשים עם אותו ערך (x1 = x2).

דוגמה לשורשים אמיתיים (D = 0)

מצא את ערך השורש PK של 2x2 + 4x + 2 = 0.

הֶסדֵר:

a = 2; b = 4; c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (2) (2)

D = 16 - 16

D = 0

אז מכיוון שהערך של D = 0, מוכח שהשורשים אמיתיים ומאושרים.

3. שורשים דמיוניים / לא אמיתיים (D <0)

אם הערך של D <0, אז שורש המשוואה הריבועית יהיה דמיוני / לא אמיתי.

דוגמה לשורשים דמיוניים (D <0) /

מצא את סוג השורש של המשוואה x2 + 2x + 4 = 0.

הֶסדֵר:

a = 1; b = 2; c = 4

D = b2 - 4ac

D = 22 - 4 (1) (4)

D = 4 - 16

D = -12

אז מכיוון שהערך של D <0, שורש המשוואה הוא שורש לא אמיתי או דמיוני.

מצא את שורשי המשוואה הריבועית

ישנן מספר שיטות בהן ניתן להשתמש כדי למצוא את שורשיה של משוואה ריבועית. ביניהם פקטוריזציה, ריבועים מושלמים ושימוש בנוסחה abc.

להלן מתוארות מספר שיטות למציאת שורשי משוואה.

1. פקטוריזציה

פקטוריזציה / פקטורינג היא שיטה למצוא שורשים עם מחפש ערך שאם יוכפל ייצור ערך אחר.

ישנן שלוש צורות של משוואות ריבועיות (PK) עם פקטורציה של שורש שונה, כלומר:

להלן דוגמא לבעיה בשימוש בשיטת הפקטוריזציה במשוואות ריבועיות.

לפתור את המשוואה הריבועית פי 52+ 13x + 6 = 0 בשיטת הפקטוריזציה.

הֶסדֵר:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(5x + 3) (x + 2) = 0

5x = -3 או x = -2

אז, התוצאה של הפתרון היא x = -3/5 או x = -2

2. ריבועים מושלמים

טופס ריבועים מושלמים היא סוג של משוואה ריבועית שהיא מניב מספר רציונלי.

התוצאות של משוואה ריבועית מושלמת משתמשות בדרך כלל בנוסחה הבאה:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

הפתרון הכללי למשוואה הריבועית המושלמת הוא כדלקמן:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

עם (x + p) 2 = q ואז:

(x + p) 2 = q

x + p = ± q

x = -p ± q

להלן דוגמא לבעיה בשימוש בשיטת המשוואה המושלמת.

פתור את המשוואה x2 + 6x + 5 = 0 בשיטת משוואה ריבועית מושלמת!

הֶסדֵר:

x2 + 6x +5 = 0

x2 + 6x = -5

השלב הבא, כלומר להוסיף מספר אחד בקטע הימני והשמאלי, כך שהם יכולים לשנות לריבוע מושלם.

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x + 3) 2 = 4

(x + 3) = √4

x = 3 ± 2

אז התוצאה הסופית היא x = -1 או x = -5

3. נוסחאות ABC ריבועיות

נוסחת abc היא בחירה חלופית כאשר לא ניתן לפתור את המשוואה הריבועית באמצעות פקטוריזציה או שיטות ריבועיות מושלמות.

הנה נוסחת הנוסחה א ב ג במשוואה הריבועית ax2 + bx + c = 0.

להלן דוגמה לפתרון בעיית משוואה ריבועית באמצעות נוסחה א ב ג.

פתור את המשוואה x2 + 4x - 12 = 0 בשיטת הנוסחה abc!

הֶסדֵר:

x2 + 4x - 12 = 0

כאשר a = 1, b = 4, c = -12

בניית משוואה ריבועית חדשה

אם בעבר למדנו כיצד למצוא את שורשי המשוואה, אז כעת נלמד לחבר את המשוואה הריבועית מהשורשים שהיו ידועים בעבר.

להלן מספר דרכים בהן אתה יכול לבנות PK חדש.

1.בנה את המשוואה כאשר אתה מכיר את השורשים

אם למשוואה יש שורשים x1 ו- x2, המשוואה עבור אותם שורשים יכולה להתבטא במונחים של

(x- x₁) (x- x₂)=0

דוגמא:

מצא משוואה ריבועית בה השורשים הם בין -2 ל -3.

הֶסדֵר:

איקס₁ = -2 ו- x₂=3

(x - (- 2)) (x-3) = 0

(x + 2) (x + 3)

x2-3x + 2x-6 = 0

x2-x-6 = 0

לכן, התוצאה של המשוואה לשורשים אלה היא x2-x-6 = 0

2.בנה משוואה ריבועית כאשר אתה יודע את סכום השורשים ותוצרם

אם ידוע על שורשי המשוואה הריבועית עם המספר והזמנים x1 ו- x2, ניתן להמיר את המשוואה הריבועית לצורה הבאה.

x2- (x₁₊ איקס₂) x + (x_1.איקס₂)=0

דוגמא:

מצא משוואה ריבועית עם שורשים 3 ו- 1/2.

הֶסדֵר:

איקס₁= 3 ו- x₂= -1/2

איקס₁₊ איקס₂=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

איקס_1.איקס₂ = 3 (-1/2) = -3/2

לפיכך, המשוואה הריבועית היא:

x2- (x₁₊ איקס₂) x + (x_1.איקס₂)=0

x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (כל צד מוכפל ב- 2)

2x2-5x-3 = 0

אז המשוואה הריבועית לשורשים 3 ו- 1/2 היא 2x2-5x-3 = 0.