נוסחאות הזדמנות ודוגמאות לבעיות

הנוסחה להסתברות היא P (A) = n (A) / n (S), המחלק את שטח הדגימה במרחב הכולל בו מתרחש האירוע.

אי אפשר להפריד בין דיונים על הזדמנויות לניסויים, מרחב לדוגמא ואירועים.

משתמשים בניסויים (ניסויים) במקרה כדי להשיג תוצאות אפשריות המתרחשות במהלך הניסוי ולא ניתן לקבוע או לחזות תוצאות אלו. הניסוי הפשוט של הסיכויים הוא חישוב הסיכויים לקוביות, מטבע.

שטח המדגם הוא מכלול התוצאות האפשריות בניסוי. במשוואות, מרחב המדגם מסומן בדרך כלל על ידי הסמל S.

אירוע או אירוע הוא קבוצת משנה של שטח המדגם או חלק מתוצאות הניסוי הרצויות. אירועים יכולים להיות אירועים בודדים (בעלי נקודת מדגם אחת בלבד) ומספר אירועים (בעלי יותר מנקודת מדגם אחת).

מבוסס על תיאור הניסוי, שטח הדגימה והאירועים. לפיכך, ניתן להגדיר שההסתברות היא הסבירות או הסבירות לאירוע במרחב מדגם מסוים בניסוי.

"סיכוי או הסתברות או מה שאפשר לקרוא לו הסתברות היא דרך להביע אמונה או ידיעה שאירוע יחול או התרחש"

הסבירות או ההסתברות לאירוע הוא מספר המציין את הסבירות לאירוע. ערך הסיכויים הוא בטווח שבין 0 ל -1.

אירוע עם ערך ההסתברות 1 הוא אירוע שהוא בטוח או שהתרחש. דוגמה לאירוע הסתברות 1 היא שהשמש חייבת להופיע ביום ולא בלילה.

אירוע שערכו ההסתברות 0 הוא אירוע בלתי אפשרי או בלתי סביר להתרחש. דוגמא לאירוע הסתברות 0 היא למשל זוג עזים המולידים פרה.

נוסחאות הזדמנות

ההסתברות שאירוע A מתרחש מסומנת בסימון P (A), p (A) או Pr (A). לעומת זאת, ההסתברות [לא A] או השלמה של א, או ההסתברות לאירוע א לא יקרה, הוא 1-P (א).

כדי לקבוע את נוסחת הסיכוי להתרחשות באמצעות שטח הדגימה (המסומל בדרך כלל על ידי S) ואירוע. אם A הוא אירוע או אירוע, אז A הוא חבר בקבוצת החללים לדוגמה S. ההסתברות להתרחשות A היא:

P (A) = n (A) / n (S)

מֵידָע:

N (A) = מספר חברי מערך האירועים A

n (S) = מספר החברים במערך שטח הדגימה S.

דוגמאות לנוסחאות הזדמנות

דוגמא לבעיה 1:

מת מתגלגל פעם אחת. קבע את ההזדמנויות כאשר:

א. אירוע A מופיע המוות עם מספר ראשוני

ב. שכיחות המוות מופיעה עם סך של פחות מ 6

תשובה:

הניסוי לזריקת הקוביות מניב 6 אפשרויות, כלומר מראה הקוביות 1, 2, 3, 4, 5, 6, כך שניתן לכתוב ש- n (S) = 6

א. בשאלת הופעתם של קוביות ראשוניות, האירוע המופיע הוא המספר הראשוני, כלומר 2, 3 ו- 5. לכן ניתן לכתוב שמספר ההתרחשויות n (A) = 3.

אז ערך ההסתברות של אירוע A הוא כדלקמן:

P (A) = n (A) / n (S)

P (A) = 3/6 = 0.5

ב. באירוע B, כלומר האירוע שהמוות הוא פחות מ 6. המספרים האפשריים המופיעים הם 1, 2, 3, 4 ו- 5.

אז ערך ההסתברות של האירוע B הוא כדלקמן:

P (B) = n (B) / n (S)

P (A) = 5/6

דוגמא לבעיה 2

שלושה מטבעות הושלכו יחד. קבע את הסיכויים ששני צידי התמונה וצד אחד של המספר יופיעו.

תשובה:

חדר לדוגמא לזריקת 3 מטבעות:

S = {GGG, GGA, GAG, AGG, AGA, GAA, AAA, AAG}

ואז n (S) = 8

* כדי למצוא את הערך של n (S) בזריקה אחת של 3 מטבעות עם n (S) = 2 ^ n (כאשר n הוא מספר המטבעות, או מספר הטלות)

האירוע הופיע בשני צדי התמונה וצד אחד של המספר, כלומר:

N (A) {GGA, GAG, AGG},

ואז n (A) = 3

אז הסיכויים לקבל שני צדדים של התמונה ומספר אחד הם כדלקמן:

P (A) = n (A) / n (S) = 3/8

דוגמא לבעיה 3

שלוש נורות נבחרות באופן אקראי מבין 12 נורות, 4 מהן פגומות. חפש הזדמנויות להתרחש:

1. שום נורה לא נפגעה
2. בדיוק נורה אחת נשברה

תשובה:

לבחירת 3 נורות מ -12 מנורות, כלומר:

12C3 = (12)! / 3! (12-3)!

= 12! / 3! 9!

= 12 x 11 x 10 x 9! / 1 x 2 x 3 x 9!

= 12 x 11 x 10/1 x 2 x 3 = 220

לפיכך, n (S) = 220

נניח שאירוע A במקרה של אין כדור נפגע. מכיוון שיש 12 - 4 = 8, כלומר 8 הם מספר המנורות שאינן נפגעות, אז כדי לבחור 3 נורות, אף אחת מהן לא ניזוקה, כלומר:

8C3 = 8! / (8-3)! 3!

= 8 x 7 x 6 x 5! / 5! 3 x 2 x 1

= 56 דרכים

לפיכך, n (A) = 56 דרכים

אז כדי לחשב את הסיכוי להתרחשות של אורות שבורים, כלומר:

P (A) = n (A) // n (S)

= 56/ 220 = 14/55

לדוגמא, אירוע B, שבו כדור אחד בדיוק נפגע, אז יש 4 נורות פגומות. לוקחים 3 כדורים, ואחד מהם פגום בדיוק, כך שהשניים האחרים הם נורות שלא נפגעו.

מהתקרית ב 'מצאנו דרך לגרום לכדור אחד להיפגע משלושת הכדורים שנלקחו.

8C2 = 8 x 7 x 6! / (8-2)! 2 × 1

= 8 x 7 x 6! / 6! 2

=28

ישנן 28 דרכים להשיג כדור פגום אחד, כאשר בתיק אחד יש 4 אורות שבורים. כך שישנן דרכים רבות להשיג כדור אחד שנפגע בדיוק משלושת הכדורים הנמשכים הם:

n (B) = 4 x 28 דרכים = 112 דרכים

אז עם נוסחת הסיכוי להתרחשות, המראה של נורה שבורה בדיוק הוא

P (B) = n (B) / n (S)

= 112/ 220

= 28/55

דוגמא לבעיה 4

שני קלפים נמשכים מ -52 קלפים. חפש את הסיכויים לאירוע (א): שני קלפי האתרים, (ב) אירוע ב ': אחד האחד ולב אחד

תשובה:

כדי לשלוף 2 קלפים מתוך 52 קלפים:

53C2 = 52 x 51/2 x 1 = 1.326 דרכים

כך ש- n (S) = 1.326

• בראשית א '.

כדי לקחת 2 מתוך 13 האתרים יש:

13C2 = 13 x 12/2 x 1

= 78 דרכים

כך ש- n (A) = 78

ואז ההסתברות להתרחשות A היא

P (A) = n (A) / n (S)

=78/1.326

=3/51

אז הסיכוי לשני הקלפים הנמשכים הוא עלים, ואז הסיכויים הם 3/51

• בראשית ב

מכיוון שיש 13 חפירות ב -13 לבבות, ישנן מספר דרכים להרים את הלב ולב אחד:

13 x 13 = 69 דרכים, n (B) = 69

ואז הסיכויים הם:

P (B) = n (B) / n (S)

=69/1.326

=13/102

אז הסיכוי לקחת שני קלפים עם ספייד אחד ולב אחד, ערך הסיכוי שעולה הוא 13/102.

התייחסות: מתמטיקה של הסתברות - RevisionMath